Question

已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）-3，且f（1）=1，若当x≥2，且x∈N^*时，不等式f（x）≥（a+2）x-（a+10）恒成立，则实数a的范围是（　　）

A．a≤5

B．a＜5

C．a≥5

D．a＞5

Answer 1

分析：先求出f（x+1）与 f（x）的关系，用累加法求出f（x）的解析式，不等式等价变形，利用分离参数法，再由基本不等式求不等号右边式子的最小值，则a应小于或等于此最小值．

解答：解：令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）+0-3，f（0）=-3，
令y=1得，f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）-3=f（x）+2x，
即f（x+1）-f（x）=2x，
∴f（2）-f（1）=2×1，f（3）-f（2）=2×2，f（4）-f（3）=2×3，…f（x）-f（x-1）=2×（x-1），
累加得：f（x）-f（1）=2[1+2+3+4…+（x-1）]=x²-x，
又f（1）=1，∴f（x）=x²-x+1，
∵x≥2时，不等式f（x）≥（a+2）x-（a+10）恒成立，
∴x²-x+1≥（a+2）x-（a+10）恒成立，
∴a≤

x2-3x+11

x-1

=（x-1）+

9

x-1

-1
由基本不等式得（x-1）+

9

x-1

-1≥5（当且仅当x=4时，等号成立），
∴a≤5
故选A．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查求参数的范围，确定函数解析式，正确分离参数是关键．