Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（一1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．
（I）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且

PQ

=λ

OA

，直线OP与QA交于点M，试探究：点M的横坐标是否为定值？并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，则由k_OP+k_OA=k_PA，得

y

x

+

1

-1

=

y-1

x+1

，由此能求出点P的轨迹C的方程．
（Ⅱ）法一：设P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

) ， M(x0，y0)，由

PQ

=λ

OA

可知直线PQ∥OA，则k_PQ=k_OA，故x₂+x₁=-1，由O、M、P三点共线可知，

OM

=(x0，y0)与

OP

=(x1，

x

2 1

)共线，由此能求出点M的横坐标为定值-

1

2

．
法二：设P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

)，由

PQ

=λ

OA

可知直线PQ∥OA，则k_PQ=k_OA，故x₂=-x₁-1，所以直线OP方程为：y=x₁x，直线QA的斜率为：

(-x1-1)2-1

-x1-1+1

=-x1-2，由此能求出点M的横坐标为定值．

解答：解：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，
则由k_OP+k_OA=k_PA，
得

y

x

+

1

-1

=

y-1

x+1

，（2分）
整理得轨迹C的方程为y=x²（x≠0且x≠-1），…（4分）
（Ⅱ）（方法一）设P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

) ， M(x0，y0)，
由

PQ

=λ

OA

可知直线PQ∥OA，则k_PQ=k_OA，
故

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

=

1-0

-1-0

，即x₂+x₁=-1，…（6分）
由O、M、P三点共线可知，

OM

=(x0，y0)与

OP

=(x1，

x

2 1

)共线，
∴x0

x

2 1

-x1y0=0，
由（Ⅰ）知x₁≠0，故y₀=x₀x₁，（8分）
同理，由

AM

=(x0+1，y0-1)与

AQ

=(x2+1，

x

2 2

-1)共线，
∴(x0+1)(

x

2 2

-1)-(x2+1)(y0-1)=0，
即（x₂+1）[（x₀+1）（x₂-1）-（y₀-1）]=0，
由（Ⅰ）知x₂≠-1，故（x₀+1）（x₂-1）-（y₀-1）=0，（10分）
将y₀=x₀x₁，x₂=-1-x₁代入上式得（x₀+1）（-2-x₁）-（x₀x₁-1）=0，
整理得-2x₀（x₁+1）=x₁+1，
由x₁≠-1得x0=-

1

2

，即点M的横坐标为定值-

1

2

．  （12分）
（方法二）
设P(x1，

x

2 1

) ， Q(x2，

x

2 2

)，
由

PQ

=λ

OA

可知直线PQ∥OA，则k_PQ=k_OA，
故

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

=

1-0

-1-0

，即x₂=-x₁-1，（6分）
∴直线OP方程为：y=x₁x①； （8分）
直线QA的斜率为：

(-x1-1)2-1

-x1-1+1

=-x1-2，
∴直线QA方程为：y-1=（-x₁-2）（x+1），
即y=-（x₁+2）x-x₁-1②； （10分）
联立①②，得x=-

1

2

，
∴点M的横坐标为定值-

1

2

．（12分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，探究点M的横坐标是否为定值．具体涉及到直线与抛物线的位置关系、抛物线的基本性质、向量知识、直线方程等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．