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14．已知f（x）=x2+2（a-2）x+4，如果对x∈[-3，1]，f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为（-$\frac{1}{2}$，4）．分析 对x∈[-3，1]，f（x）＞0恒成立，需讨论对称轴与区间[-3，1]的位置关系，确定出最小值建立不等式，解之即可．
解答 解：∵f（x）=x2+2（a-2）x+4，
对称轴x=-（a-2），
对x∈[-3，1]，f（x）＞0恒成立，
∴讨论对称轴与区间[-3，1]的位置关系得：
$\left\{\begin{array}{l}{-（a-2）＜-3}\\{f（-3）＞0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{-3≤-（a-2）≤1}\\{△＜0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{-（a-2）＞1}\\{f（1）＞0}\end{array}\right.$，
解得a∈ϕ或1≤a＜4或-$\frac{1}{2}$＜a＜1，
∴a的取值范围为（-$\frac{1}{2}$，4）
点评 本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数在闭区间上恒成立问题，属于基础题．
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