Question

平面内n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点．
（1）设这n条直线互相分割成f（n）条线段或射线，猜想f（n）的表达式并给出证明；
（2）求证：这n条直线把平面分成个区域．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过求出f（2），f（3），f（4），猜想f（n）=n²．然后用数学归纳法证明即可．
（2）按照数学归纳法的证明步骤，第一步验证n=1成立，第二步假设n=k时命题正确，即k条直线把平面分成个区域，推出n=k+1时，命题也成立．
解答：解：（1）解：f（2）=4，f（3）=9，f（4）=16，．
∴猜想f（n）=n²．以下用数学归纳法证明：①当n=2时，f（2）=4=2²，猜想正确．
②假设n=k（k≥2）时猜想正确，即f（k）=k²，
则当n=k+1时，这第k+1条直线与原来的k条直线分别相交，新增k个交点，
它们分别把原来的一条线段或射线一分为二，
使原来的k条直线新分割出k条线段或射线，
又这k个交点还把第k+1条直线分割为k+1条线段或射线．
∴当n=k+1时，猜想也正确．
根据①②知，对大于1的任意自然数n，猜想都正确．
（2）证明：①当n=1时，一条直线把平面分为两部分，
而n=1时，∴n=1时命题正确．
②假设n=k时命题正确，即k条直线把平面分成个区域，
则n=k+1时，第k+1条直线被原来的k条直线截成k+1条线段或射线，
而每一条线段或射线都把它们所占的一块区域一分为二，
故新增加出k+1块区域，
因此k+1条直线把平面共分成，即个区域．
∴当n=k+1时命题也成立．
由①②可知，对任意的n∈N^*，命题都成立．
点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明方法，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．