Question

有一高二升高三的学生盼望进入某名牌大学学习，假设该名牌大学由以下每种方式都可录取：①2010年2月国家数学奥赛集训队考试通过（集训队从2009年10月省数学竞赛一等奖中选拔）；②2010年3月自主招生考试通过并且2010年6月高考分数达重点线；③2010年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）．该考生具有参加省数学竞赛、自主招生和高考的资料且估计自己通过各种考试的概率如下表：

省数学竞赛获一等奖	自主招生通过	高考达重点线	高考达该校分数线
0.5	0.7	0.8	0.6

如果数学竞赛获省一等奖，该学生估计自己进入国际集训队的概率是0.4．若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②，③顺序依次录取；前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取．
（1）求该考生参加自主招生考试的概率；
（2）求该学生参加考试的次数ξ的分布列及数学期望；
（3）求该学生被该校录取的概率．

Answer 1

分析：（1）设该生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队时间分别为A、B则P₁=P（

.

A

）+P（A

.

B

），然后利用互斥事件的概率公式进行求解；
（2）ξ=2，3，4，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解即可；
（3）设自主招生通过并且高考达重点线录取、自主招生未通过且高考达该校线录取的事件分别为C、D，该学生被该校录取的事件分为三种事件，AB、C、D，分别求出对应的概率，最后相加即可．

解答：解：（1）设该生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队时间分别为A、B
则P₁=P（

.

A

）+P（A

.

B

）=0.5+0.5×0.6=0.8
该考生参加自主招生考试的概率为0.8
（2）参加考试有下面几种情形，参加两次考试奥赛和进集训队；参加三次考试指前两次和高考；参加四次考试是指参加两次考试奥赛和进集训队和自主和高考．
ξ=2，3，4，
P（ξ=2）=0.5×0.4=0.2；
P（ξ=3）=0.5；
P（ξ=4）=0.5×0.6=0.3

ξ	2	3	4
P	0.2	0.5	0.3

Eξ=2×0.2+3×0.5+4×0.3=3.1
（3）设自主招生通过并且高考达重点线录取、自主招生未通过且高考达该校线录取的事件分别为C、D
（i）P（AB）=0.2
（ii）P（C）=0.8×0.7×0.8=0.448，
（iii）P（D）=0.8×0.3×0.6=0.144
∴该学生被该校录取的概率为：
P₂=P（AB）+P（C）+P（D）=0.792

点评：本题关键是理解题意，题干比较长，给我们解题制造了困难，但本题的题意和同学们又很接近，这是同学们比较感兴趣的问题，考查运用概率知识解决实际问题的能力，属于中档题．