Question

已知等比数列{a_n}各项都是正数，a₁=3，a₁+a₂+a₃=21，S_n为{a_n}的前n项和，
（Ⅰ）求通项a_n及S_n；
（Ⅱ）设{b_n-a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{b_n}的通项公式及其前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，代入已知可得关于q的方程，解之可得q，代入等比数列的通项公式和求和公式可得；（Ⅱ）可得b_n=3×2^n-1+3n-2，分别由等差数列和等比数列的求和公式可得．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0，
代入已知可得3+3q+3q²=21，解得q=2，或q=-3（舍去），
故a_n=3×2^n-1，S_n=

3(1-2n)

1-2

=3×2^n-1-3；
（Ⅱ）∵{b_n-a_n}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴b_n-a_n=1+3（n-1）=3n-2，即b_n=3×2^n-1+3n-2
故T_n=3（1+2+2²+…+2^n-1）+（1+4+7+…+3n-2）
=

3(1-2n)

1-2

+

n(1+3n-2)

2

=3×2ⁿ-3+

3n2-n

2

点评：本题考查等比数列和等差数列的求和公式，属中档题．