Question

已知函数f （x）=2x²+x-k，g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，g（x）取得极值-2．
（1）求函数g（x）的单调区间和极大值；
（2）若对任意x∈[-1，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求实数k的取值范围；
（3）若对任意x₁∈[-1，3]，x₂∈[-1，3]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，
∴g（-x）=g（x），可得b=d=0，即g（x）=ax³+cx（a≠0），
又当x=1时，g（x）取得极值-2，∴，即，
解得，故函数g（x）=x³-3x，导函数g′（x）=3x²-3，
令3x²-3=0解得x=±1，当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（-1，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
故当x=-1时，f（x）取到极大值f（-1）=2
（2）f（x）-g（x）=2x²+4x-k-x³，对任意x∈[-1，3]，都有f（x）≤g（x）成立，
只需k≥2x²+4x-x³，构造函数F（x）=2x²+4x-x³，x∈[-1，3]，F′（x）=-3x²+4x+4，
令]，F′（x）=0可得x=2或x=-，当x∈（-1，）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减
当x∈（，2）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x∈（2，3）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
当x=2时，F（x）取到极大值F（2）=8，F（-1）=-1，故F（x）的最大值为8，
故实数k的取值范围为：k≥8；
（3）若对任意x₁∈[-1，3]，x₂∈[-1，3]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，
即f（x）在区间[-1，3]上的最大值都小于或等于g（x）的最小值，
由（1）可知：当x∈[-1，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（1，3]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故当x=1时，函数g（x）取到极小值，
也是该区间的最小值f（1）=-2，
而f （x）=2x²+x-k为开口向上的抛物线，对称轴为x=，故当x=3时取最大值f（3）=21-k，
由21-k≤-2，解得k≥23
分析：（1）由奇函数可得b=d=0，代入可得函数g（x）的解析式，由导数的正负易得单调区间，进而得极值；
（2）对任意x∈[-1，3]，都有f（x）≤g（x）成立，只需k≥2x²+4x-x³，构造函数F（x）=2x²+4x-x³，x∈[-1，3]，由导数法可得函数的最大值，可得答案；
（3）对任意x₁∈[-1，3]，x₂∈[-1，3]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，即f（x）在区间[-1，3]上的最大值都小于或等于g（x）的最小值，只需求其最小值即可．
点评：本题为函数导数的综合应用，涉及函数的极值最值和恒成立问题，属中档题．