题目内容
如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值．
分析：首先题目给定y轴的正半轴上的两点A、B，求x轴的正半轴上点C，使∠ACB取得最大值．故可以设A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），C的坐标为（x，0）记∠BCA=α，∠OCB=β，．然后根据三角形角的关系，求出tanα的值再根据基本不等式求出其最大值，因为在(0，
)内tanα是增函数，即所得的角为最大角．
| π |
| 2 |
解答：解：设点A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），0＜b＜a，又设所求点C的坐标为（x，0）．
记∠BCA=α，∠OCB=β，则∠OCA=α+β．显然，0＜α＜
．现在有
tanα=tg[（α+β）-β]=
=
=
=
．
记y=
+
，那么，当x=
时，y取得最小值2
因此，当x=
时，tanα取得最大值
．
因为在(0，
)内tanα是增函数，所以当x=
时，∠ACB取最大值arctg
．
故所求点C的坐标为（
，0）．
故答案为（
，0）．
记∠BCA=α，∠OCB=β，则∠OCA=α+β．显然，0＜α＜
| π |
| 2 |
tanα=tg[（α+β）-β]=
| tg(α+β)-tanβ |
| 1+tg(α+β)tanβ |
| ||||
1+
|
| a-b | ||
x+
|
| a-b | ||||||||||
|
记y=
| x | ||
|
| ||
| x |
| ab |
因此，当x=
| ab |
| a-b | ||
2
|
因为在(0，
| π |
| 2 |
| ab |
| a-b | ||
2
|
故所求点C的坐标为（
| ab |
故答案为（
| ab |
点评：此题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，题中涉及到两角和与差的正切函数，有一定的技巧性，属于中档题目．
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