Question

已知a，b∈R，函数f（x）=x³+ax²+bx-2在x=1取得极值
（1）求a与b的关系式；
（2）若y=f（x）的单调减区间的长度不小于2，求a的取值范围（注：区间[m，n]的长度为n-m）；
（3）若不等式f（x）≥x-2对一切x≥3恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导函数，然后根据函数f（x）=x³+ax²+bx-2在x=1取得极值，则f'（1）=0可求出a和b的关系；
（2）将b用a代换，然后求出y=f（x）的单调减区间，根据单调减区间的长度不小于2建立不等关系，求出a的范围即可；
（3）f（x）=x³+ax²+（-2a-3）x-2≥x-2对一切x≥3恒成立转化成x³+ax²-（2a+4）x≥0对一切x≥3恒成立，则x²+ax-（2a+4）≥0对一切x≥3恒成立，最后利用参数分离法求出a的范围．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b
∵函数f（x）=x³+ax²+bx-2在x=1取得极值
∴f'（1）=3+2a+b=0
（2）由（1）知b=-2a-3
∴f'（x）=3x²+2ax-2a-3=（3x+2a+3）（x-1）＜0
∵y=f（x）的单调减区间的长度不小于2
∴|1-（-

2a+3

3

）|≥2
解得：a≥0或a≤-6
（3）f（x）=x³+ax²+（-2a-3）x-2≥x-2对一切x≥3恒成立
x³+ax²-（2a+4）x≥0对一切x≥3恒成立
∴x²+ax-（2a+4）≥0对一切x≥3恒成立
即a（x-2）≥4-x²，a≥-x-2
∴a≥-5

点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，函数恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，是一道综合题，有一定的难度，同时考查了转化思想．