题目内容

已知函数f（x）=lnax- $数学公式$ （a≠0）
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n均有1+ $数学公式$ …+ $数学公式$ ，其中e为自然对数的底数；
（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

（Ⅰ）解：由题意 $\text{[math]}$ ． …（1分）
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，
故 $\text{[math]}$ ，无最大值． …（3分）
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），此时函数在（-∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，
故 $\text{[math]}$ ，无最大值．…（5分）
（Ⅱ）证明：取a=2，由（Ⅰ）可知： $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，（x＞0）
取x=1，2，3…，n，则 $\text{[math]}$ ．…（10分）
（Ⅲ）解：假设存在这样的切线，设其中一个切点T（ $\text{[math]}$ ），
∴切线方程：y+1= $\text{[math]}$ ，将点T坐标代入得：ln $\text{[math]}$ ，
即ln $\text{[math]}$ ，…①
设g（x）=lnx+ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2．+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）_极大值=g（1）=1＞0，g（x）_极小值=g（2）=ln2+ $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ，（也可以求 $\text{[math]}$ 等等）
注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在 $\text{[math]}$ 内有且仅有一根
方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．…（15分）
分析：（Ⅰ）求导数，对a进行讨论，确定函数f（x）的定义域，可得函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）取a=2，证明 $\text{[math]}$ （x＞0），取x=1，2，3…，n，即可证得结论；
（Ⅲ）假设存在这样的切线，确定切线方程，将切点坐标代入，再构建函数，利用函数在其定义域上的单调性，即可的符合条件的切线．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查曲线的切线方程，考查学生分析解决问题的能力，难度大．