Question

设f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）
（Ⅰ）f（x）的图象关于原点对称，当x=

1

2

时，f（x）的极小值为-1，求f（x）的解析式．
（Ⅱ）若a=b=d=1，f（x）是R上的单调函数，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据图象关于原点对称得出f（x）为奇函数，从而得出b=d=0，再由x=

1

2

时，f（x）的极小值为-1，建立关于a、c的方程组，解出a、c的值即可得到f（x）的解析式．
（II）若a=b=d=1，则f（x）=x³+x²+cx+1，由题意f'（x）在R上恒为非负或者恒为非正．因此求出导数并利用二次函数的性质建立关于c的不等式，解之即可得到实数c的取值范围．

解答：解：：（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0；
可得f（x）=ax³+cx，因此f'（x）=3ax²+c
∵当x=

1

2

时，f（x）的极小值为-1，
∴f′(

1

2

)=

3a

4

+c=0，且f（

1

2

）=

1

8

a+

1

2

c=-1
解之得a=4，c=-3，得f（x）=4x³-3x
∴所求函数的解析式为f（x）=4x³-3x；
（Ⅱ）∵a=b=d=1，∴f（x）=ax³+bx²+cx+d=x³+x²+cx+1
∵f（x）是R上的单调函数，∴f'（x）在R上恒为非负或者恒为非正
∵f'（x）=3x²+2x+c，
∴△=4-12c≤0，解之得c≥

1

3

．可得实数c的取值范围为[

1

3

，+∞）

点评：本题给出三次多项式函数，研究函数的奇偶性与单调性．着重考查了利用导数研究函数的单调性、二次函数的性质和不等式恒成立等知识，属于中档题．