Question

设AB是椭圆

x2

2

+y2=1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k_AB•k_OM=

 

．

Answer 1

分析：设M（a，b），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），易知k_OM=

b

a

，再由点差法可知k_AB=-

a

2b

，由此可求出k_AB•k_OM=-

1

2

．

解答：解：设M（a，b），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵M为AB的中点，∴x₁+x₂=2a，y₁+y₂=2b，
把A、B代入椭圆

x2

2

+y2=1得

x12+2y12=2 ① x22+2y22=2 ②

，
①-②得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2a（x₁-x₂）+4b（y₁-y₁）=0，∴kAB=-

a

2b

．
∵kOM=

b

a

，∴k_AB•k_OM=-

1

2

．
答案：-

1

2

．

点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用．