题目内容
如图，已知ABCD为平行四边形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于N．现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥N-ABF的体积．
分析：（Ⅰ）要证BD⊥平面BCEF，只需证明D在平面BCEF上的射影为点B即可；
（Ⅱ）法一：建立空间直角坐标系，
，
再求cos＜
，
＞即可求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；
法二：在线段BC上取点M，使BM=BF，说明∠DNM或其补角为DN与BF所成角．用余弦定理解三角形即可求解折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；
（Ⅲ）A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，利用VN-ABF=VA-BNF=VD-BNF求三棱锥N-ABF的体积．
（Ⅱ）法一：建立空间直角坐标系，
| DN |
| BF |
| BF |
| DN |
法二：在线段BC上取点M，使BM=BF，说明∠DNM或其补角为DN与BF所成角．用余弦定理解三角形即可求解折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；
（Ⅲ）A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，利用VN-ABF=VA-BNF=VD-BNF求三棱锥N-ABF的体积．
解答：
解：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，得EF⊥面DNB
则平面BDN⊥平面BCEF，
由BN=平面BDN∩平面BCEF，
则D在平面BCEF上的射影在直线BN上，
又D在平面BCEF上的射影在直线BC上，
则D在平面BCEF上的射影即为点B，
故BD⊥平面BCEF．（4分）
（Ⅱ）法一．如图，建立空间直角坐标系，
∵在原图中AB=6，∠DAB=60°，
则BN=
，DN=2
，∴折后图中BD=3，BC=3
∴N（0，
，0），D（0，0，3），C（3，0，0）
=
=（-1，0，0）
∴
=
+
=（-1，
，0）
=（0，
，-3）
∴cos＜
，
＞=
=
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为
（9分）
法二．在线段BC上取点M，使BM=NF，则MN∥BF
∴∠DNM或其补角为DN与BF所成角．
又MN=BF=2，DM=
=
，DN=2
．
∴cos∠DNM=
=
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为
（Ⅲ）∵AD∥EF，∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，
∴VN-ABF=VA-BNF=VD-BNF=
S△BNF•BD=
即所求三棱锥的体积为
（14分）
解：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，得EF⊥面DNB则平面BDN⊥平面BCEF，
由BN=平面BDN∩平面BCEF，
则D在平面BCEF上的射影在直线BN上，
又D在平面BCEF上的射影在直线BC上，
则D在平面BCEF上的射影即为点B，
故BD⊥平面BCEF．（4分）
（Ⅱ）法一．如图，建立空间直角坐标系，
∵在原图中AB=6，∠DAB=60°，
则BN=
| 3 |
| 3 |
∴N（0，
| 3 |
| NF |
| 1 |
| 3 |
| CB |
∴
| BF |
| BN |
| NF |
| 3 |
| DN |
| 3 |
∴cos＜
| BF |
| DN |
| ||||
|
|
| ||
| 4 |
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为
| ||
| 4 |
法二．在线段BC上取点M，使BM=NF，则MN∥BF
∴∠DNM或其补角为DN与BF所成角．
又MN=BF=2，DM=
| BD2+BM2 |
| 10 |
| 3 |
∴cos∠DNM=
| DN2MN2-DM2 |
| 2DN•MN |
| ||
| 4 |
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为
| ||
| 4 |
（Ⅲ）∵AD∥EF，∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，
∴VN-ABF=VA-BNF=VD-BNF=
| 1 |
| 3 |
| ||
| 2 |
即所求三棱锥的体积为
| ||
| 2 |
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，异面直线所成的角，棱锥的体积，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
= 
+x
+y
；??
=x
+y
+
.?
