题目内容

过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦点F（2，0）作倾斜角为60°的直线，与椭圆交于A、B两点，若|BF|=2|AF|，则椭圆的离心率为（　　）
分析：由直线方程的点斜式，可得直线AB的方程为y=
3
（x-2），与椭圆的方程消去x，得（a2+
1
3
b2）y2+
4
3
3
b2y+4b2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系结合已知条件得y1+y2=-
4
3
b2
3a2+b2
=-y1，y1y2=
12b2-3a2b2
3a2+b2
=-2y12，消去y1得关于a、b的方程，结合a2=b2+4联解，可得a=3，从而得到该椭圆的离心率．
解答：解：∵直线AB经过F（2，0）且倾斜角为60°，
∴AB的斜率k=tan60°=
3
，得直线AB方程为y=
3
（x-2）
将直线AB方程与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1联解，消去x得：（a2+
1
3
b2）y2+
4
3
3
b2y+4b2-a2b2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），得y1+y2=-
4
3
b2
3a2+b2
，y1y2=
12b2-3a2b2
3a2+b2

∵|BF|=2|AF|，
∴y1+y2=-y1=
4
3
b2
3a2+b2
，y1y2=-2y12=
12b2-3a2b2
3a2+b2

消去y1，得-2（
4
3
b2
3a2+b2
）2=
12b2-3a2b2
3a2+b2
…（1）
又∵椭圆的焦点F（2，0）
∴a2=b2+4，代入（1）式化简整理，得-96b4=-3b4（4b2+12），解之得b2=5
由此可得a2=9，a=3，所以椭圆的离心率e=
c
a
=
2
3

故选：B
点评：本题给出椭圆经过右焦点倾角为60度的弦AB被焦点分成1：2的两部分，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识点，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，|F1F2|=4
2
，离心率e=
2
2
3
．过直线l：x=
a2
c
上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）在圆中有如下结论：“过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为：x0x+y0y=r2”．由上述结论类比得到：“过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
（2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（2
2
，0）；
（3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．
（2011•宁波模拟）已知：圆x2+y2=1过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B两点记λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求k的取值范围；
（Ⅲ）求△OAB的面积S的取值范围．
已知：圆x2+y2=1过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x2+y2=1相切，与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B两点记λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
，
（1）求椭圆的方程；
（2）求k的取值范围．
（如图）过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB；若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．
（1）求椭圆
x2
5
+y2=1的“左特征点”M的坐标．
（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的“左特征点”M是一个怎么样的点？并证明你的结论．
过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左顶点A做圆x2+y2=b2的切线，切点为B，延长AB交抛物线于y2=4ax于点C，若点B恰为A、C的中点，则
a
b
的值为
1+
5
2
1+
5
2
．

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