题目内容
【题目】已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0， 
]，m∈R．
（1）设t=sinx+cosx，x∈[0， ]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；
（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0， ]恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0， ]上有实数根，求实数m的取值范围．
【答案】
（1）解：因为t=sinx+cosx= 
，x∈[0， 
]，所以t∈[1， 
]，sinxcosx= 
．
所以g（t）=mt﹣4 =﹣2t2+mt+2．
（2）解：因为关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0， ]恒成立，
据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1， ]恒成立，
所以 
，得m≥ ．所以实数m的取值范围是[ ，+∞）．
（3）解：因为关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0， ]上有实数解，
据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1， ]上有实数解，
即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1， ]上有实数解，
所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．
令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，开口向上，对称轴t= 
，
①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1， ]上单调递减，
故 
，解得m不存在．
②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1， ]上单调递增，
故 
，解得2+ ≤m≤4．
综上所述，实数m的取值范围是[2+ ，4]．
【解析】（1）利用辅助角公式，结合同角三角函数关系，即可得出结论；（2）据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1， 
]恒成立，所以 
，即可求出实数m的取值范围；（3）据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1， ]上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1， 
]上有实数解，分类讨论，求出实数m的取值范围．
