题目内容

（2010•合肥模拟）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是AB、BC、B1C1的中点．下列说法正确的是
①②③
①②③
 （写出所有正确命题的编号）．
①P在直线EF上运动时，GP始终与平面AA1C1C平行；
②点Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积不变；
③点M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是一条的直线；
④以正方体ABCD-A1B1C1D1的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱AA1异面的有10条．
分析：画出正方体图形，
①P在直线EF上运动时，可证面GEF∥平面AA1C1C，GP?面GEF，从而判定①是否成立；
②Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积不变；三角形AD1Q面积不变，C到平面距离不变，体积为定值．
③M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和 C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．线段A1D1满足题意．
④可列举出所求与棱AA1异面的直线，从而判定真假．
解答：解：①P在直线EF上运动时，EF∥AC，GF∥C1C，可知面GEF∥平面AA1C1C，GP?面GEF，所以①成立；
②Q在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1QC的体积不变；如图（2）三角形AD1Q面积不变，C到平面距离不变，体积为定值．
③M是正方体的面A1B1C1D1内到点D和 C1距离相等的点，则M点的轨迹是一条线段．线段A1D1满足题意．
④以正方体ABCD-A1B1C1D1的任意两个顶点为端点连一条线段，其中与棱AA1异面的有BC、BC1、B1C、B1C1、C1D1、B1D1、CD、CD1、C1D、BD1、B1D、BD共12条，故不正确；
故答案为：①②③．
点评：本题考查棱锥的结构特征，轨迹方程，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
练习册系列答案
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a
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b
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，
3
)，f(x)=
a
•
b
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