Question

已知圆F的方程是x²+y²-2y=0，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引倾斜角为α的直线l，l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点（在直线l上，这四个点从左至右依次为A、B、C、D），若|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，则α的值为（　　）

• A、±arctan

  2

  2

• B、

  π

  4

• C、arctan

  2

  2

• D、arctan

  2

  2

  或π-arctan

  2

  2

Answer 1

分析：根据抛物线的焦点是圆心F，求出p，进而求出抛物线的解析式；据|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，求出AD的长度，A、D两点是抛物线和直线的交点，联立抛物线和直线，利用两点间距离公式即可求出结果．

解答：解：∵圆Fx²+y²-2y=0 即x²+（y-1）²=1
∴F（0，1），r=1
∵抛物线以F点为焦点

p

2

=1
∴抛物线方程为：x²=4y
过F点的直线与抛物线相交于A、D两点，
BC为圆F的直径|BC|=2
∵|AB|，|BC|，|CD|成等差数列
∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=|=|AD|-2=4
∴|AD|=6
∵直线l过F（0，1）则设直线解析式为：y=kx+1
A、D两点是过F点的直线与抛物线交点
设A（x₁，y₁）D（x₂，y₂）则|AD|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=6
联立y=kx+1和x²=4y，得x²-4kx-4=0
∴x₁x₂=-4  x₁+x₂=4k
∴|AD|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2) 2+k2(x1-x2) 2

= 

(x1-x2) 2(1+k2)

=

[(x1+x2) 2- 4x1x2](1+k2)

=

16(1+k2)2

=6
∴1+k²=

3

2

∴k=±

2

2

∴α的值为：arctan

2

2

或π-arctan

2

2

故选D．

点评：本题主要综合考查直线与圆、抛物线以及数列的相关知识，关键是利用两点间的距离公式；同时注意运用数形结合的方法解决此类问题．