Question

如图，圆O的直径AB＝8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P．

(1)求证：BC²＝AC·BP；
(2)若EC＝2，求PB的长．

Answer 1

（1）见解析   （2）

解：(1)∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°．
又AC∥BP，∴∠ACB＝∠CBP，∠ECA＝∠P．
∵EC为圆O的切线，∴∠ECA＝∠ABC，∴∠ABC＝∠P，
∴△ACB∽△CBP．
∴＝，即BC²＝AC·BP．
(2)∵EC为圆O的切线，EC＝2，AB＝8，
∴EC²＝EA·EB＝EA(EA＋AB)，∴EA＝2．
∵∠ECA＝∠ABC，∴△ACE∽△CBE，∴＝＝．
∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC²＋BC²＝AB²．
∴AC＝，由＝，可得PB＝．