Question

在正项数列{a_n}中，令S_n=

n

∑i=1

1

ai + ai+1

．
（Ⅰ）若{a_n}是首项为25，公差为2的等差数列，求S₁₀₀；
（Ⅱ）若Sn=

nP

a1 + an+1

（P为正常数）对正整数n恒成立，求证{a_n}为等差数列；
（Ⅲ）给定正整数k，正实数M，对于满足a₁²+a_k+1²≤M的所有等差数列{a_n}，求T=a_k+1+a_k+2+…a_2k+1的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差数列的定义进行转化是解决本题的关键，用好分母有理化的思想进行相消求和；
（Ⅱ）利用等差数列的定义或者等差中项的办法进行等差数列的判定是解决本题的关键，寻找相邻项的关系是解决该题的突破口；
（Ⅲ）将所求的和利用等差数列前n项和公式进行等价变形是解决本题的关键．

解答：（Ⅰ）解：由题意，利用等差数列的公差为2，得到

1

ai + ai+1

=

ai+1 - ai

2

，
所以S100=

a101 - a1

2

=

25+2×100 - 25

2

=5．
（Ⅱ）证：令n=1得到

p

a1 + a2

=

1

a1 + a2

，则p=1．
由于S_n=

n

∑i=1

1

ai + ai+1

=Sn=

nP

a1 + an+1

（1），
S_n+1=

n+1

∑i=1

1

ai + ai+1

=

(n+1)P

a1 + an+2

（2），
（2）-（1），将p=1代入整理得

(n+1)

a1 + an+2

-

n

a1 + an+1

=

1

an+1 + an+2

，
化简得（n+1）a_n+1-na_n+2=a₁（3）
（n+2）a_n+2-（n+1）a_n+3=a₁（4），
（4）-（3）得a_n+1+a_n+3=2a_n+2对任意的n≥1都成立．
在（3）中令n=1得到，a₁+a₃=2a₂，从而{a_n}为等差数列．
（Ⅲ）记t=a_k+1，公差为d，
则T=a_k+1+a_k+2+…a_2k+1=（k+1）t+

k(k+1)

2

d，则

T

k+1

=t+

kd

2

，M≥a₁²+a_k+1²=t²+（t-kd）²=

4

10

(t+

kd

2

)2+

1

10

(4t-3kd)2≥

4

10

(t+

kd

2

)2=

2

5

(

T

k+1

)2
则T≤

(k+1) 10M

2

，
当且仅当

4t=3kd M= 2 5 (t+ kd 2 )2

，即

ak+1=t=3 M 10 d= 4 k M 10

时等号成立．

点评：本题考查等差数列的基本知识，属于竞赛性质的题目，有一定的难度，理解各式之间的联系，善于把握式子的等价变形是解决该问题的关键．用到分母有理化等处理根式问题的方法．