题目内容
（2008•临沂二模）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，F为右焦点，M、N两点在椭圆C上，且
=λ
（λ＞0）定点A（-4，0）
（I）求证：当λ=1时，有
⊥
；
（Ⅱ）若λ=1时，有
•
=
，求椭圆C的方程．
（Ⅲ）在（Ⅱ）确定的椭圆C上，当
•
×tan∠MAN的值为6
时，求直线MN的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
| MF |
| FN |
（I）求证：当λ=1时，有
| MN |
| AF |
（Ⅱ）若λ=1时，有
| AM |
| AN |
| 106 |
| 3 |
（Ⅲ）在（Ⅱ）确定的椭圆C上，当
| AM |
| AN |
| 3 |
分析：（I）设M（x1，y1），N（x2，y2），F（c，0）通过λ=1时，
=
，M、N两点在椭圆上，求出x1=x2，然后通过数量积证明
⊥
．
（II）当λ=1时，不妨设M（c，
），N（c，-
），通过λ=1时，有
•
，求出a，b，得到椭圆的方程．
（III）由
•
×tan∠MAN=2S△AMN=|AF||y1-y2|，分别讨论当直线MN与x轴垂直时和当直线MN与x轴不垂直时，满足条件的MN的方程，综合讨论结果可得答案．
| MF |
| FN |
| MN |
| AF |
（II）当λ=1时，不妨设M（c，
| b2 |
| a |
| b2 |
| a |
| AM |
| AN |
（III）由
| AM |
| AN |
解答：证明：（I）设M（x1，y1），N（x2，y2），F（c，0）
则
=（c-x1，-y1），
=（x2-c，y2），
当λ=1时，
=
∴c-x1=x2-c且-y1=y2
∴x1+x2=2c且-y1=y2
∵M、N两点在椭圆C上，
∴
=a2(1-
)，
=a2(1-
)
故
=
，即|x1|=|x2|，由x1+x2=2c可得x1=x2=c
∴
=（0，2y2），
=（c+4，0）
∴
•
=0
∴
⊥
；
解：（Ⅱ）当λ=1时，不妨设M（c，
），N（c，-
），
•
=（c+4）2-
=
，
因为a2=
，b2=
c2，
∴
c2+8c+16=
，
∴c=2，a2=6，b2=2，
故椭圆的方程为
+
=1．
（III）
•
×tan∠MAN=|
|•|
|•sin∠MAN=2S△AMN=|AF||y1-y2|
当直线MN与x轴垂直时，|y1-y2|=
，
|AF||y1-y2|=6×
=4
不满足条件
当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为：y=k（x-2），（k≠0）
由
得（1+3k2）y2+4ky-2k2=0
∴|y1-y2|=
∴6×
=6
即k4-2k2+1=0
∴k2=1，解得k=±1
故直线MN的方程为：y=±（x-2）
即x-y-2=0或x+y-2=0
则
| MF |
| FN |
当λ=1时，
| MF |
| FN |
∴c-x1=x2-c且-y1=y2
∴x1+x2=2c且-y1=y2
∵M、N两点在椭圆C上，
∴
| x | 2 1 |
| ||
| b2 |
| x | 2 2 |
| ||
| b2 |
故
| x | 2 1 |
| x | 2 2 |
∴
| MN |
| AF |
∴
| MN |
| AF |
∴
| MN |
| AF |
解：（Ⅱ）当λ=1时，不妨设M（c，
| b2 |
| a |
| b2 |
| a |
| AM |
| AN |
| b4 |
| a2 |
| 106 |
| 3 |
因为a2=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| 5 |
| 6 |
| 106 |
| 3 |
∴c=2，a2=6，b2=2，
故椭圆的方程为
| x2 |
| 6 |
| y2 |
| 2 |
（III）
| AM |
| AN |
| AM |
| AN |
当直线MN与x轴垂直时，|y1-y2|=
2
| ||
| 3 |
|AF||y1-y2|=6×
2
| ||
| 3 |
| 6 |
当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN的方程为：y=k（x-2），（k≠0）
由
|
∴|y1-y2|=
| ||
| 1+3k2 |
∴6×
| ||
| 1+3k2 |
| 3 |
即k4-2k2+1=0
∴k2=1，解得k=±1
故直线MN的方程为：y=±（x-2）
即x-y-2=0或x+y-2=0
点评：本题考查椭圆的简单性质，向量在几何中的应用，椭圆的标准方程，考查函数与方程的思想，计算能力．
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