Question

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c．
（1）叙述并证明正弦定理
（2）设a+c=2b，A-C=

π

3

，求sinB的值．

Answer 1

分析：（1）直接叙述正弦定理，通过三角函数定义法证明即可；
（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A-C=

π

3

，求得sin

B

2

的值，可得cos

B

2

的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

解答：解：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

（2R三角形外接圆的直径），
证明：在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c．作CH⊥AB垂足为点H，
可得：CH=a•sinB，CH=b•sinA，
∴a•sinB=b•sinA，

得到

a

sinA

=

b

sinB

同理，在△ABC中，

b

sinB

=

c

sinC

，
∵同弧所对的圆周角相等，∴

c

sinC

=2R，
则

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

（2R三角形外接圆的直径）；
（2）在△ABC中，
∵a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin

A+C

2

cos

A-C

2

=4sin

B

2

cos

B

2

，
再由A-C=

π

3

，可得 sin

π-B

2

cos

π

6

=2sin

B

2

cos

B

2

，
解得：sin

B

2

=

3

4

，
∴cos

B

2

=

13

4

，
则sinB=2sin

B

2

cos

B

2

=

39

8

．

点评：此题考查了正弦定理，两角和差的余弦公式、以及和差化积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．