Question

设函数h（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）若对于任意的x∈[0，3]，都有h（x）＜c²成立，求c的取值范围．
（3）已知函数f(x)=

1

2

dx2+2x，g（x）=lnx是否存在实数d＞0，使得方程

g(x)

x

=f′(x)-(2d+1)在区间(

1

e

，e)内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出d的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导数，利用h'（1）=0，h'（2）=0，即可求a、b的值；
（2）首先求出函数的导数，然后将区间[0，3]，分为x∈（0，1），x∈（1，2），x∈（2，3）三段，在每一段找到最大值，然后三个最大值进行比较，求出区间[0，3]上最大值，即可求出c的取值范围；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数d＞0，使得方程

g(x)

x

=f′(x)-(2d+1)在区间(

1

e

，e)内有且只有两个不相等的实数根，再利用导数的知识，研究函数在（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的零点的条件，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）h'（x）=6x²+6ax+3b，
因为函数h（x）在x=1及x=2取得极值，则有h'（1）=0，h'（2）=0．
即

6+6a+3b=0 24+12a+3b=0

解得a=-3，b=4．（4分）
（2）由（1）可知，h（x）=2x³-9x²+12x+8c，h'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0；
当x∈（1，2）时，h'（x）＜0；
当x∈（2，3）时，h'（x）＞0．
所以，当x=1时，h（x）取得极大值h（1）=5+8c，又h（0）=8c，h（3）=9+8c．
则当x∈[0，3]时，h（x）的最大值为h（3）=9+8c．
因为对于任意的x∈[0，3]，有h（x）＜c²恒成立，
所以　9+8c＜c²，
解得　c＜-1或c＞9，
因此c的取值范围为（-∞，-1）∪（9，+∞）．
（3）把方程

g(x)

x

=f′(x)-(2d+1)整理为

lnx

x

=dx+2-(2d+1)，
即为方程dx²+（1-2d）x-lnx=0设H（x）=dx²+（1-2d）x-lnx（x＞0），
原方程在区间（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的实数根，即为函数H（x）在区间（

1

e

，e）内有且只有两个零点H′(x)=2dx+(1-2d)-

1

x

=

2dx2+(1-2d)x-1

x

=

(2dx+1)(x-1)

x

令H'（x）=0，因为d＞0，解得x=1或x=-

1

2d

（舍）
当x∈（0，1）时，H'（x）＜0，H（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）是增函数H（x）在（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的零点，只需

H( 1 e )＞0 H(x)min＜0 H(e)＞0

⇒1＜d＜

e2+e

2e-1

（12分）

点评：本题主要考查了利用导数求函数的极值问题、函数与方程的综合运用，注意（3）的处理存在性问题的一般方法，首先假设存在，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．