题目内容

已知点的序列A_n（x_n，0），n∈N，其中x₁=0，x₂=a（a＞0），A₃是线段A₁A₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，…．
（I）写出x_n与x_n-1、x_x-2之间的关系式（n≥3）；
（II）设a_n=x_n+1-x_n，计算a₁，a₂，a₃，由此推测数列{a_n}的通项公式，并加以证明；
（III）求 $数学公式$ ．

解：（I）当n≥3时， $\text{[math]}$
（II）a₁=x₂-x₁=a $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
由此推测． $\text{[math]}$ a（n∈N）
因为a₁=a＞0，且
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （n≥2）
所以 $\text{[math]}$ ．
（III）解：当n≥3时，有x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁=a_n-1+a_n-2+…+a₁，
由（II）知{a_n}是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，所以 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）根据题意，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，可得x_n与x_n-1、x_n-2之间的关系式，
（II）由题意知a₁=a，a₂=- $\text{[math]}$ a，a₃= $\text{[math]}$ a，由此推测：a_n=（- $\text{[math]}$ ）^n-1a（n∈N^*）再进行证明．
（III）首先求出x_n，然后根据（II）知{a_n}是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，求出结果．
点评：本题考查数列的性质和应用以及数列的极限，解题时要注意公式的灵活运用．属于中档题．

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