题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 上任意一点到两焦点距离之和为4，直线x+4=0为该椭圆的一条准线．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同的两点A、B，且 $数学公式$ （其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

解：（I）设椭圆C的半焦距为c，
由题意得 $\text{[math]}$ ，解得a=2，b= $\text{[math]}$ ，
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立 $\text{[math]}$ ，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
∵直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同的两点A、B，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，解得 $\text{[math]}$ ，①
且有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
= $\text{[math]}$ ＞0，
解得 $\text{[math]}$ ，②
由①②得， $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ，
∴斜率k的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）设椭圆C的半焦距为c，由题意得 $\text{[math]}$ ，由此能够求出椭圆C的方程．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ ，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，由直线l：y=kx+2与椭圆C交于不同的两点A、B，解得 $\text{[math]}$ ，且有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0，解得 $\text{[math]}$ ，由此能够求出斜率k的取值范围．
点评：本题考查椭圆方程的求法，求直线斜率k的取值范围．解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、不等式性质等知识点的灵活运用．