Question

已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线L方程为y=x+1，L交椭圆于M、N两点，求|MN|的长．

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），
由椭圆短轴长为4得2b=4，解得b=2，
由离心率为，得，即a²=5c²=5（a²-4），解得a²=5，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由得9x²+10x-15=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，，
所以|MN|=|x₁-x₂|===；
分析：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），由短轴长可得b值，由离心率为，可得，结合a²=b²+c²即可求得a值；
（2）联立方程组消掉y得到x的二次方程，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韦达定理及弦长公式即可求得弦长|MN|．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，弦长公式及韦达定理是解决该类题目的基础知识，要熟练掌握．