题目内容

今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀
速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（ $数学公式$ ）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．
（1）将y表示为x的函数；
（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．

解：（1）∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；
当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（ $\text{[math]}$ ）m的距离，
∴当0＜x≤12时，y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当12＜x≤25时，y= $\text{[math]}$ =5x+ $\text{[math]}$ +10
∴y= $\text{[math]}$ ；
（2）当0＜x≤12时，y= $\text{[math]}$ ，∴x=12m/s时，y_min=290s；
当12＜x≤25时，y=5x+ $\text{[math]}$ +10≥2 $\text{[math]}$ +10=250s
当且仅当5x= $\text{[math]}$ ，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，y_min=250s
∵290＞250，∴x=24m/s时，y_min=250s．
答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s．
分析：（1）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（ $\text{[math]}$ ）m的距离，可得分段函数；
（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．
点评：本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．