题目内容
20．
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中正确的是（ ） ①D1O∥平面A1BC1
②D1O⊥平面MAC
③BC1异面直线与AC所成的角等于60°
④二面角M-AC-B等于60°．
| A． | ①② | B． | ①②③ | C． | ②③ | D． | ②③④ |
分析 对于①，连接B1D1，交A1C1于E，则D1O∥BE，利用线面平行的判定定理，可得D1O∥平面A1BC1；
对于②，连接C1D，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则MO∥B1D，根据B1D⊥平面A1BC1，可得MO⊥平面A1BC1；
对于③，根据AC∥A1C1，可得∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角所成的角；
对于④，因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB为二面角M-AC-B的平面角
解答 
解：对于①，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平行四边形，所以D1O∥BE，因为D1O?平面A1BC1，BE?平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故正确；
对于②，连接C1D，∵O为底面ABCD的中心，即有AC⊥BD，易得AC⊥平面BDD1B1，
即有AC⊥D1O，由tan∠D1OD•tan∠MOB=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，即有D1O⊥MO，
可得D1O⊥平面MAC，②正确；
对于③，∵AC∥A1C1，∴∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角所成的角，∵△A1C1B为等边三角形，∴∠A1C1B=60°，故正确；
对于④，因为BO⊥AC，MO⊥AC，∴∠MOB为二面角M-AC-B的平面角，显然不等于60°，故不正确；
故选B．
点评 本题考查线面平行，线面垂直，考查线线角，面面角，掌握线面平行、垂直的判定定理是关键
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