Question

对于任意实数a，关于x的方程log₂[2x²+（m+3）x+2m]=a总有实数解，则实数m的取值范围是

{m|m≤1或m≥9}

．

Answer 1

分析：由对于任意实数a，关于x的方程log₂[2x²+（m+3）x+2m]=a总有实数解，知y=log₂[2x²+（m+3）x+2m]的值域为R．所以∴2x²+（m+3）x+2m必须至少取满（0，+∞）．也就是说2x²+（m+3）x+2m的最小值要小于等于0．由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：∵对于任意实数a，关于x的方程log₂[2x²+（m+3）x+2m]=a总有实数解，
∴y=log₂[2x²+（m+3）x+2m]的值域为R．
∴2x²+（m+3）x+2m必须至少取满（0，+∞）．
也就是说2x²+（m+3）x+2m的最小值要小于等于0．
对称轴 x=-

m+3

4

，
最小值

-m2+10m-9

8

≤0，
即m²-10m+9≥0，
解得m≤1或m≥9．
∴数m的取值范围是{m|m≤1或m≥9}．
故答案为：{m|m≤1或m≥9}．

点评：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数的性质的灵活运用．