题目内容

如图，将45°的直角三角板ADC和30°的直角三角板ABC拼在一起组成平面四边形ABCD，其中45°的直角三角板的斜边AC与30°的直角三角板的30°所对的直角边重合，若 $数学公式$ ，则x，y分别等于

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：根据直角三角形中的边角关系求出各边长，余弦定理求出DB²=x²+y² ①，Rt△CC′B中，由勾股定理得 BC²=CC'²+C′B²，即 6=（y-1）2+x2 ②，由①②可解得 x、y值．
解答：

解：由题意得，若设 AD=DC=1，则 AC= $\text{[math]}$ ，AB=2 $\text{[math]}$ ，BC= $\text{[math]}$ ，由题意知， $\text{[math]}$
△BCD中，由余弦定理得 DB²=DC²+CB²-2DC•CB•cos（45°+90°）=1+6+2×1× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =7+2 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∠ADC=90°，
∴DB²=x²+y²，∴x²+y²=7+2 $\text{[math]}$ ①．
如图，作 $\text{[math]}$ =y $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
CC′=y-1，C′B=x，
Rt△CC′B中，由勾股定理得 BC²=CC'²+C′B²，即 6=（y-1）²+x²，②
由①②可得 y=1+ $\text{[math]}$ ，x= $\text{[math]}$ ，
故选D．
点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，余弦定理、勾股定理得应用，体现了数形集合的数学思想．