Question

在直角坐标系xOy中，以M（-1，0）为圆心的圆与直线x-

3

y-3=0相切．
（1）求圆M的方程；
（2）如果圆周上存在两点关于直线mx+y+1=0对称，求m的值；
（3）已知A（-2，0），B（2，0），圆肘内的动点P满足|PA|•|PB|=|PO|²，求

PA

•

PB

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由直线与圆相切，得到圆心到切线的距离d等于半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心M到已知直线的距离d，即为圆M的半径，写出圆M方程即可；
（2）由圆上存在两点关于直线mx+y+1=0对称，得到直线mx+y+1=0过圆心，将M坐标代入直线中，即可求出mm的值；
（3）设P（x，y），利用两点间的距离公式化简已知的等式，整理后得到x与y的关系式，再表示出两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则计算所求的式子，将表示出的关系式代入得到关于y的式子，由P在圆M内部，得到P与圆心M的距离小于半径列出不等式，即可求出所求式子的范围．

解答：解：（1）依题意，圆心M（-l，0）到直线x-

3

y-3=0的距离d=r，
∴d=

|-1-3|

1+3

=2=r，
则圆M的方程为（x+1）²+y²=4；
（2）圆M上存在两点关于直线mx+y+1=0对称，
∴直线mx+y+1=0必过圆心M（-1，0），
将M坐标代入mx+y+1=0得：-m+1=0，
解得：m=1；
（3）设P（x，y），
由|PA|•|PB|=|P0|²得：

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x²+y²，
整理得：x²-y²=2，
∵A（-2，0），B（2，0），
∴

PA

=（-2-x，-y），

PB

=（2-x，-y），
∴

PA

•

PB

=x²-4+y²=2（y²-1），
点P在圆M内，（x+1）²+y²＜4，可得0≤y²＜4，
∴-2≤2（y²-1）＜6，
则

PA

•

PB

的取值范围为[-2，6）．

点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两点间的距离公式，对称的性质，平面向量的数量积运算法则，以及点与圆、直线与圆的位置关系，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．