Question

已知椭圆C：的离心率为，A、B为它的左、右焦点，过一定点N（1，0）任作两条互相垂直的直线与C分别交于点P和Q，且||的最小值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线NP、NQ，使得向量与互相垂直？若存在，求出点P、Q的横坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设O为坐标原点，易知PO为△PAB的中线，从而可得，易知当点P在短轴上定点时取得最小值2，由此可求得b值，再由离心率及a²=b²+c²可求得a；
（2）易知直线NP，NQ斜率均存在，设两直线方程分别为：L_NP：y=k（x-1），，由，（O为原点），知只需满足即可，由=-1，可得x_P+x_Q=1①，根据点P、Q在椭圆上得，=-1，联立①可得②，可判断①②构成方程组有解，从而可得结论；
解答：解：（1）设O为坐标原点，则PO为△PAB的中线，
∴，，
因此，当P在短轴上顶点时，取得最小值2，即2b=2，解得b=1，
依题意得：，即，即，∴a²=4，
∴椭圆C的方程为：；
（2）由题意知直线NP，NQ斜率均存在，设为K_NP=k，，
则此两直线方程分别为：L_NP：y=k（x-1），，
又，（O为原点），因此，只要满足即可，
故=-1，化简为：x_P+x_Q=1，
由半椭圆方程得：，则=-1，即=-4x_Px_Q，
令x_Px_Q=t≤0且x_P+x_Q=1，故，
化简为：15t²-8t-12=0，解得t=-或t=（舍去），∴，
解之得：或，
因此，直线NP、NQ能使得与互相垂直．
点评：本题考查椭圆的标准方程、直线斜率及其方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生对问题的探究能力及解决问题的能力．