Question

如图，设S-ABCD是一个高为3的四棱锥，底面ABCD的边长为2的正方形，顶点S在底面上的射影是正方形ABCD的中心，K是棱SC的中点，过AK作平面与线段SB，SD分别交于M，N（M，N可以是线段的端点）．
（1）求直线AK平面SBC所成角的正弦值；
（2）当M是SB中点时，求四棱锥 S-AMKN 的体积．

Answer 1

分析：（1）设AK与平面SBC所成角为θ，由SC=

32+( 2 )2

=

11

，知CK=

11

2

，故cos∠SCA=

2

11

=

22

11

，由此能够求出直线AK平面SBC所成角的正弦值．
（2）当M是SB的中点时，MK∥BC，由BC∥平面SAD，知MK∥平面SAD，MK∥AN，MK∥AD，故N，D两点重合，由此能求出M是SB中点时，四棱锥 S-AMKN 的体积．

解答：解：（1）设AK与平面SBC所成角为θ，
∵SC=

32+( 2 )2

=

11

，∴CK=

11

2

．
∴cos∠SCA=

2

11

=

22

11

，
∴AK²=AC²+CK²-2AC•CK•cos∠SCA=

27

4

．
∴AK=

3 3

2

．
∵V_S-ABC=

1

3

×

1

2

×2×2×3=2=V_A-BCS，
∴h=

6

S△SBC

=

3 10

5

，
∴sinθ=

h

AK

=

2 30

15

．

（2）当M是SB的中点时，MK∥BC，
∵BC∥平面SAD，∴MK∥平面SAD，
∴MK∥AN，MK∥AD，
∴N，D两点重合，
∴M到平面SAK的距离为

2

2

，
∴S△SAK=

1

2

S△SAC=

3 2

2

，
∴M是SB中点时，四棱锥 S-AMKN 的体积：
V_S-AMKN=

1

3

×S△SAK•

2

+

1

3

×S△SAC•

2

2

=

2

2

•S△SAK=

2

2

×

3 2

2

=

3

2

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查四棱锥的体积的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．