Question

如图长度为2的线段AB夹在直二面角的两个半面内，，且AB与平面所成的角都是30°，AC⊥l，垂足为C，BD⊥l，垂足为D。

   （1）求直线AB与CD所成角的大小；

   （2）求二面角C―AB―D的平面角的余弦值。

Answer 1

解法一：

（1）由于且AC⊥l，则AC⊥，以C

为原点，建立如图所示的直角坐标系。

因为AB=2，

AB与平面所成的角都是30°，且AC⊥l于C，

BD⊥l于D，则AC=1，BD=1。AD=，

所以A（0，0，1）、M（1，－，0）、C（0，0，0）、

D（0，－，0）（2分）

 

 

故直线AB与CD所成角为45°。

（2）设平面ABC的一个法向量

由

取 

设平面ABD的一个法向量为

由

取

由

故二面角C―AB―D的平面角的余弦值为 

解法二：

（1）在平面内过点B作BE//DC，BE=DC，连结CE，EA，BC，AD，则四边形BECD是矩形。

所以∠ABE就是直线AB与CD所成角。

∵AB=2，⊥，AC⊥l，AC

∴AC⊥

∴∠ABC=30°。

∴AC=1，同理BD=1。

∴CE=1，AE=

∵CE⊥BE，

∴AE⊥BE。

在Rt△AEB中，sin∠ABE= 

∴∠ABE=45°.

∴直线AB与CD所成角的大小为45°

（2）∵AC⊥，AC平面ABC。

∴平面BAC⊥平面BDC，且交线是BC，

过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF⊥平面BAC，

过F作FG⊥AB，垂足为G，连结DG，则DG⊥AB，

故∠DGF就是二面角C―AB―D的平面角。 

在Rt △ACB中，BC=

在Rt △BDC中，DC=

在Rt△BGF中，FG=BF

在Rt△DFG中，DG

故二面角C―AB―D的平面角的余弦值为