Question

下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，求能得出⊥面MNP的图形的序号(写出所有符合要求的图形序号)

  

 

Answer 1

【答案】

①④⑤

【解析】为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动，l与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN、NP、MP三条线中，若有一条不垂直l，则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定l⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．

 解法1  作正方体ABCD－A₁B ₁ C₁ D₁如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面BA₁D、EFGHKR和CB ₁ D₁都是对角线l (即 AC₁)的垂面．

对比图①，由MN∥BA _l，MP∥BD，知面MNP∥面BA _l D，故得l⊥面MNP．

对比图②，由MN与面CB₁D₁相交，而过交点且与l垂直的直线都应在面CB_l D_l内，所以MN不垂直于l，从而l不垂直于面MNP．

对比图③，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．

对比图④，由MN∥BD，MP∥BA．知面 MNP∥面BA ₁ D，故l⊥面MNP．

对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．

综合得本题的答案为①④⑤．

解法2  如果记正方体对角线l所在的对角截面为．各图可讨论如下：

在图①中，MN,NP在平面上的射影为同一直线，且与l垂直，故 l⊥面MNP．事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影是MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影是MN的垂线，故l⊥MN，从而l⊥面 MNP．

在图②中，由MP⊥面，可证明MN在平面上的射影不是l的垂线，故l不垂直于MN．从而l不垂直于面MNP．

在图③中，点M在上的射影是l的中点，点P在上的射影是上底面的内点，知MP在上的射影不是l的垂线，得l不垂直于面 MNP．

在图④中，平面垂直平分线段MN，故l⊥MN．又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而l⊥MP，故l⊥面 MNP．

在图⑤中，点N在平面上的射影是对角线l的中点，点M、P在平面上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且l与这一直线垂直．从而l⊥面MNP．

至此，得①④⑤为本题答案．