Question

已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足||=
（1）求曲线C的方程；
（2）点Q（x，y）（-2＜x＜2）是曲线C上动点，曲线C在点Q处的切线为l，点P的坐标是（0，-1），l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出、的坐标，由此求得||和的值，由题意可得 =4-2y，化简可得所求．
（2）根据直线PA，PB的方程以及曲线C在点Q（x，y）（-2＜x＜2）处的切线方程，求出F点的坐标，D、E两点的横坐标，可得S_△PDE和S_△QAB的值，从而求得△QAB与△PDE的面积之比．
解答：解：（1）由=（-2-x，1-y），=（2-x，1-y）可得=（-2x，2-2y），
∴||=，=（-2-x，1-y）•（0，2）+2=4-2y．
由题意可得 =4-2y，化简可得 x² +2y-3=0．
（2）直线PA，PB的方程分别为 y=-x-1、y=x-1，曲线C在点Q（x，y）（-2＜x＜2）处的切线方程为y=x-，
且与y轴的交点F（0，-）．
由求得x_D=，由求得x_E=．
故x_E-x_D=2，故|FP|=1-．
故S_△PDE=|PF|•|x_E-x_D|=（1-）•2=，
而S_△QAB=×4×（1-）=，
∴=2，即△QAB与△PDE的面积之比等于2．
点评：本题主要考查抛物线的标准方程的应用，利用导数求曲线上某点的切线方程，求得F点的坐标，D、E两点的横坐标，
是解题的关键，属于中档题．