题目内容
(本小题满分14分)
已知为实数,数列满足,当时,
(1)当时,求数列的前100项的和;
(2)证明:对于数列,一定存在,使;
(3)令,当时,求证:
【答案】
(1)
.
(2)证明:见解析;
(3)
【解析】(1)解本小题的关键是确定当a=100时,由题意知数列的前34项成首项为100,公差为-3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1.
(2)本小题易采用数学归纳法进行证明.再由n=k+1时成立时,一定要用上n=k时的归纳假设,否则证明无效.
(3)先由,再求出.
从而
然后再讨论n是奇数和n是偶数两种情况进行证明.
解:(1)当a=100时,由题意知数列的前34项成首项为100,公差为-3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而
………………(3分)
.………………(5分)
(2)证明:①若0<a1≤3,则题意成立…………………(6分)
②若a1>3此时数列的前若干项满足an-an-1=3,即an=a1-3(n-1).
设,则当n=k+1时,
从而此时命题成立……(8分)
③若a1≤0,由题意得a2=4-a1>3,则有②的结论知此时命题也成立.
综上所述,原命题成立……………(9分)
(3)当2<a<3时,因为
所以 ……………(10分)
因为bn>0,所以只要证明当n≥3时不等式成立即可.而
………………………………(12分)
①当n=2k(k∈N*且k≥2)时,
…(13分)
②当n=2k-l(k∈N*且k≥2)时,出于bn>0,所以
综上所述,原不等式成立………(14分)
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