题目内容

使函数 $数学公式$ 的图象关于原点对称，且满足对于 $数学公式$ 内任意两个数x₁，x₂，恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0的θ的一个取值可以是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：函数f（x）图象关于原点对称，满足f（0）=0，算出tanθ=- $\text{[math]}$ ，得θ= $\text{[math]}$ +kπ（k∈Z）．再根据函数f（x）区间 $\text{[math]}$ 内恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，得函数f（x）为减函数，利用辅助角公式并结合函数y=Asin（ωx+φ）的性质讨论f（x）的单调减区间，即可得到取k=0，得θ= $\text{[math]}$ 时满足题设的两个条件．
解答：∵函数 $\text{[math]}$ 的图象关于原点对称，
∴函数f（x）是奇函数，满足f（0）=sinθ+ $\text{[math]}$ cosθ=0，
得tanθ=- $\text{[math]}$ ，θ= $\text{[math]}$ +kπ，k∈Z
∵ $\text{[math]}$ =2sin（2x+θ+ $\text{[math]}$ ）
满足在区间 $\text{[math]}$ 内恒有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，即函数为减函数
∴θ+ $\text{[math]}$ ≤2x+θ+ $\text{[math]}$ ≤θ+ $\text{[math]}$ ，
令t=2x+θ+ $\text{[math]}$ ，得集合M={t|θ+ $\text{[math]}$ ≤t≤θ+ $\text{[math]}$ }，且M?[ $\text{[math]}$ +2mπ， $\text{[math]}$ +2mπ]，m∈Z．
由此可得：取k=m=0，得θ= $\text{[math]}$ ，M=[π， $\text{[math]}$ }满足题设的两个条件
故选：D
点评：本题给出三角函数的图象关于原点对称，并且在已知一个单调减区间的情况下求参数的值，着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变形和函数的单调性等知识，属于中档题．