Question

在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：
（1）直线EF∥面ACD；
（2）BD⊥面EFC．

Answer 1

分析：（1）根据已知中E，F分别为AB，BD的中点，由三角形中位线定理可得EF∥AD，再由线面平行的判定定理，即可得到直线EF∥面ACD；
（2）由AD⊥BD结合（1）的结论可得EF⊥BD，再由CB=CD，结合等腰三角形“三线合一”的性质，得到CF⊥BD，结合线面垂直的判定定理即可得到BD⊥面EFC．

解答：证明：（1）E，F分别为AB，BD的中点?EF∥AD（3分）
?

EF∥AD AD?面ACD EF?面ACD

?EF∥面ACD．（7分）
（2）

EF∥AD AD⊥BD ?EF⊥BD CD=CB F为BD的中点 ?CF⊥BD EF∩CF=F

?BD⊥面EFC（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握空间线面平行及线面垂直的判定定理及证明步骤是解答本题的关键．