Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=1，直线PB与底面ABCD所成的角为45°，四棱锥P-ABCD的体积V=，E为PB的中点，点F在棱BC上移动．
（1）求证：PF⊥AE；
（2）当F为BC中点时，求点F到平面BDP的距离；
（3）在侧面PAD内找一点G，使GE⊥平面PAC．

Answer 1

【答案】分析：方法一：
（1）观察图形可知：BC⊥平面PAB，则PF在平面PAB上的射影是PB，AE⊥PB，所以由三垂线定理得：PF⊥AE
（2）求点到面的距离，常用方法有体积法，作垂线求垂线段的长度．这题由PA⊥底面ABCD可知：三棱锥V_P-BDF=V_F-BDP，体积较易求得，所以这题我们可以考虑用体积法求解
（3）寻找直线与平面垂直，可以通过平面与平面垂直进行转化，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，所以在平面ABCD内，过B作BF⊥AC交AD于F，连接PF，设PF的中点为G，连接GE，则GE∥BF，则GE⊥平面PAC
方法二：
以A为坐标原点，直线AB、AD、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设BF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），F（1，x，0），E（，0，）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
解答：解：
方法一：
（1）∵PA⊥底面ABCD，∠PBA是侧棱PB与底面ABCD所成的角，
∴∠PBA=45°
∵AB=1，∴PA=1
∵V=AB*AD*PA=
∴AD=2，
∵PA⊥底面ABCD
∴PA⊥BC
∵AB⊥BC
∴BC⊥平面PAB
∴PF在平面PAB上的射影是PB
∵AE?平面PAB，AE⊥PB
∴由三垂线定理得：PF⊥AE

（2）设点F到平面BDP的距离为h
则由V_P-BDF=V_F-BDP得：S_△BDF*PA=S_△BDF*h
∴h===
（3）在平面ABCD内，过B作BF⊥AC交AD于F，连接PF，设PF的中点为G，连接GE，则GE∥BF．
∵BF⊥AC，BF⊥PA
∴BF⊥平面PAC
∴GE⊥平面PAC

方法二：
（1））∵PA⊥底面ABCD，∠PBA是侧棱PB与底面ABCD所成的角，
∴∠PBA=45°
∵AB=1，∴PA=1
∵V=AB*AD*PA=
∴AD=2，
以A为坐标原点，直线AB、AD、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
设BF=x，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），P（0，0，1），F（1，x，0），E（，0，）
∵=（1，x，-1）•（，0，）=0
∴PF⊥AE

（2）∵F为BC的中点
∴F（1，1，0），从而=（1，1，-1），=（-1，2，0），=（-1，0，1），
设平面BDP的法向量为=（a，b，c），则：即得
令b=1得，=（2，1，2）
∴点F到平面BDP的距离为h===

（3）设G（0，m，n），则=（，-m，-n）
由GE⊥平面PAC可得即
∴
∴满足条件的点为G（0，，）
点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积应用、解三角形等基础知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．