Question

（2007•闸北区一模）有以下命题：
（1）若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域是{0}；
（2）若f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；
（3）若函数f（x）在其定义域内非单调，则f（x）不存在反函数；
（4）若函数f（x）与其反函数f^-1（x）不完全相同，且有公共点P，则点P必在直线y=x上．
其中正确命题的序号为（　　）

A．（1）与（2）

B．（3）与（4）

C．（1）与（3）

D．（4）与（2）

Answer 1

分析：（1）函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．（2）利用偶函数的定义和性质判断．（3）利用单调函数的定义进行判断．（4）利用反函数的性质进行判断．

解答：解：（1）若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，所以（1）正确．
（2）若函数为偶函数，则f（-x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以（2）正确．
（3）因为函数f（x）=

1

x

在定义域上不单调，但函数f（x）=

1

x

存在反函数，所以（3）错误．
（4）原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x上，比如函数y=-

x+1

与其反函数y=x²-1（x≤0）的交点坐标有（-1，0），（0，1），显然交点不在直线y=x上，所以（4）错误．
故选A．

点评：本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．