Question

15．已知x≥0，x²+（y-6）²≤9，则$\frac{2{x}^{2}+\sqrt{3}xy+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的取值范围为[1，2]．

Answer 1

分析 由题意作图，从而利用换元法可得t=$\frac{x}{y}$，则0≤t≤$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；再化简$\frac{2{x}^{2}+\sqrt{3}xy+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{2\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\sqrt{3}\frac{x}{y}+1}{\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1}$=$\frac{2{t}^{2}+\sqrt{3}t+1}{{t}^{2}+1}$=2+$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$；令y=$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$，求导确定其取值范围，从而求$\frac{2{x}^{2}+\sqrt{3}xy+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$的取值范围．

解答 解：由题意作x≥0，x²+（y-6）²≤9的图象如下，

结合图象可知，直线m的斜率k=$\sqrt{3}$；
令t=$\frac{x}{y}$，则0≤t≤$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
$\frac{2{x}^{2}+\sqrt{3}xy+{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{2\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\sqrt{3}\frac{x}{y}+1}{\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}+1}$
=$\frac{2{t}^{2}+\sqrt{3}t+1}{{t}^{2}+1}$=2+$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$；
令y=$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$，
y′=$\frac{\sqrt{3}（{t}^{2}+1）-（\sqrt{3}t-1）2t}{（{t}^{2}+1）^{2}}$
=$\frac{-\sqrt{3}{t}^{2}+2t+\sqrt{3}}{（{t}^{2}+1）^{2}}$；
z=-$\sqrt{3}$t²+2t+$\sqrt{3}$的对称轴t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
故当0≤t≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，z≥-$\sqrt{3}$×0+0+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$；
故y′＞0；
故y=$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$在[0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]上是增函数；
故$\frac{0-1}{0+1}$≤$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$≤$\frac{\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3}}{3}-1}{\frac{1}{3}+1}$=0；
故-1≤$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$≤0；
故1≤2+$\frac{\sqrt{3}t-1}{{t}^{2}+1}$≤2；
故答案为：[1，2]．

点评 本题考查了函数的几何意义的应用及导数的综合应用，同时考查了换元法的应用，属于中档题．