Question

对于函数f（x），若在其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“科比函数”．
（1）给出下列两个函数：①f（x）=x+1；②f（x）=x²，其中是“科比函数”的函数序号是

②

．
（2）若函数f(x)=k+

x+2

是“科比函数”，则实数k的取值范围是

(-

9

4

，-2]

．

Answer 1

分析：（1）根据定义域求出值域，然后寻找其定义域内存在两个实数a，b（a＜b），使当x∈[a，b]时，f（x）的值域也是[a，b]的a与b的值，即可判定．
（2）根据题意可得到：

k+ a+2 =a k+ b+2 =b

，即方程k+

x+2

=x有两个不相等的实数根，分别画出左右两边函数：y=

x+2

和y=x-k的图象，结合图象法可得答案．

解答：解：（1）①f（x）=x+1当x∈[a，b]时，f（x）的值域是[a+1，b+1]，找不到满足条件的a与b，根据定义可知f（x）=x+1不是“科比函数”
②f（x）=x²，当x∈[0，1]时，f（x）的值域是[0，1]，根据定义可知f（x）=x+1是“科比函数”
故答案为：②
（2）∵函数f（x）=k+

x+2

是“科比函数”，且是增函数，
∴

k+ a+2 =a k+ b+2 =b

此式表明：方程k+

x+2

=x有两个不相等的实数根，
即方程

x+2

=x-k有两个不相等的实数根，
分别画出左右两边函数：y=

x+2

和y=x-k的图象，
当直线y=x-k与曲线y=

x+2

相切时，

x+2

=x-k有唯一解，解得k=-

9

4

；
当直线y=x-k与曲线上的点（2，0）时，
解得k=-2；
结合图象可得：当两个函数的图象有两个不同的交点时，
实数k的取值范围是（-

9

4

，-2]．
故答案为：（-

9

4

，-2]．

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，解题的关键是将原问题转化为方程的解，进而转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想方法加以解决，属于中档题．