Question

已知{a_n}是各项为正数的等比数列，且a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=100，4是a₂和a₄的一个等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}的公比q∈（0，1），设b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据a_n是各项为正数的等比数列，且a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=100求出a₂+a₄=10，然后联合a₂•a₄=16，求出数列{a_n}的通项公式，
（2）当{a_n}的公比q∈（0，1），即q=

1

2

，然后根据b_n=a_n•log₂a_n，把a_n代入可得a_n=（5-n）•2^5-n，求出S_n=4•2⁴+3•2³+2•2²++（5-n）•2^5-n，再用

1

2

•S_n得

1

2

S_n=4•2³+3•2²+2•2¹+…+（5-n）•2^4-n，两式相减后即可得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）a_n是各项为正数的等比数列，且a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=100∴a₂²+2a₂a₄+a₄²=100，（a₂+a₄）²=100即：a₂+a₄=10，
由

a2+a4=10 a2a4=42=16

?

a2=2 a4=8

或

a2=8 a4=2

，
1当

a2=2 a4=8

时，q2=

a4

a2

=4?q=2(q=-26舍去），a_n=a₂q^n-2=2^n-1，
②当

a2=8 a4=2

时，q2=

a4

a2

=

1

4

?q=

1

2

(q=-

1

2

舍去），a_n=a₂q^n-2=2^5-n，
（2）若0＜q＜1，则：a_n=a₂q^n-2=2^5-nlog₂a_n=5-nb_n=a_nlog₂a_n=（5-n）•2^5-n
∴S_n=4•2⁴+3•2³+2•2²+…+（5-n）•2^5-n，

1

2

S_n=4•2³+3•2²+2•2¹+…+（5-n）•2^4-n，
两式相减得：

1

2

S_n=4•2⁴-（2³+2²+2¹++2^5-n）-（5-n）•2^4-n=64-

23(1-21-n)

1-2-1

-(5-n)•24-n，
S_n=96+（n-3）•2^5-n．

点评：本题主要考查数列求和和等比数列的通项公式的知识点，解答本题的关键是要分类讨论求出等比数列的公比q，还要熟练掌握用错位相减法进行求和．