Question

已知P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)是抛物线y²=2px(p>0)上不同的两点,则y₁·y₂=-p²是直线PQ通过抛物线焦点的(    )

A.充分不必要条件                      B.充要条件

C.必要不充分条件                      D.既不充分又不必要条件

Answer 1

B

解析:

当x₁=x₂时,显然为充要条件.

当x₁≠x₂时,设直线PQ的斜率为k,

若过焦点,则直线AB的方程为y=k(x-),代入抛物线方程并化简得y²-y-p²=0.

∴y₁·y₂=-p².

若y₁·y₂=-p²,由于P、Q为抛物线上?的点,故y₁²=2px₁,y₂²=2px₂.

∴.

从而直线AB的方程为y-y₁=(x-x₁).

令y=0,得-y₁²+p²=2px-2px₁.

又y₁²=2px₁,∴x=,即直线AB过(,0)点.

综上分析知为充要条件.