题目内容
2.设a∈R,函数f(x)=lnx-ax(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)已知x1=$\sqrt{e}$(e为自然对数的底数)和x2是函数f(x)的两个不同的零点,求a的值并证明:x2>e${\;}^{\frac{3}{2}}$.
分析 (1)先求出函数的导数,通过讨论a的范围,从而得到函数的单调性;(2)先求出a的值,得到函数f(x)的表达式,从而证出结论.
解答 解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
求导数,得f′(x)=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$.
①若a≤0,则f′(x)>0,f(x)是(0,+∞)上的增函数;
②若a>0,令f′(x)=0,得x=$\frac{1}{a}$.
当x∈(0,$\frac{1}{a}$)时,f′(x)>0,f(x)是增函数;
当x∈($\frac{1}{a}$,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
综上所述,当a≤0时,f(x)的递增区间为(0,+∞);当a>0时,f(x)的递增区间为
(0,$\frac{1}{a}$),递减区间为($\frac{1}{a}$,+∞).
(2)因为x1=$\sqrt{e}$是函数f(x)的零点,所以f($\sqrt{e}$)=0,即$\frac{1}{2}$-a$\sqrt{e}$=0,
解得a=$\frac{1}{2\sqrt{e}}$=$\frac{\sqrt{e}}{2e}$.
所以f(x)=lnx-$\frac{1}{2\sqrt{e}}$x.
因为f(${e}^{\frac{3}{2}}$)=$\frac{3}{2}$-$\frac{e}{2}$>0,f(${e}^{\frac{5}{2}}$)=$\frac{5}{2}$-$\frac{{e}^{2}}{2}$<0,所以f(${e}^{\frac{3}{2}}$)f(${e}^{\frac{5}{2}}$)<0.
所以x2∈(${e}^{\frac{3}{2}}$,${e}^{\frac{5}{2}}$),即:x2>${e}^{\frac{3}{2}}$.
点评 本题考查了函数的单调性问题,考查不等式的证明,是一道中档题.
A. | 4 | B. | 2$\sqrt{3}$ | C. | 3 | D. | 3$\sqrt{3}$ |
A. | $\frac{π}{2}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | $\sqrt{2}$ |
A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{1}{4}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |