题目内容
（2008•广州二模）（1）椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：
•
为定值b2-a2．
（2）由（1）类比可得如下真命题：双曲线C：
+
=1（a＞0，b＞0）与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，则
•
为定值．请写出这个定值（不要求给出解题过程）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AN |
| BM |
（2）由（1）类比可得如下真命题：双曲线C：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AN |
| BM |
分析：（1）设点P（x0，y0），x0≠±a，依题意，得A（-a，0），B（a，0），从而得直线PA的方程，继而求得点M，N的纵坐标，得到yMyN=
，把点P（x0，y0），代入椭圆方程可求得yMyN=
=b2，从而得
•
=b2-a2．
（2）类比（1）的结论，可得
•
的值．
| a2y02 |
| a2-x02 |
| a2y02 |
| a2-x02 |
| AN |
| BM |
（2）类比（1）的结论，可得
| AN |
| BM |
解答：（1）证明：设点P（x0，y0），x0≠±a，
依题意，得A（-a，0），B（a，0），
∴直线PA的方程为y=
（x+a）…（2分）
令x=0，得yM=
…（4分）
同理得yN=
…（6分）
∴yMyN=
，
∵点P（x0，y0）是椭圆C上一点，
∴
+
=1，y02=
（a2-x02），
∴yMyN=
=b2，…（8分）
=（a，yN），
=（-a，yM），
∴
•
=-a2+yMyN=b2-a2…（10分）
（2）-（a2+b2）…（14分）
依题意，得A（-a，0），B（a，0），
∴直线PA的方程为y=
| y0 |
| x0+a |
令x=0，得yM=
| ay0 |
| x0+a |
同理得yN=
| -ay0 |
| x0-a |
∴yMyN=
| a2y02 |
| a2-x02 |
∵点P（x0，y0）是椭圆C上一点，
∴
| x02 |
| a2 |
| y02 |
| b2 |
| b2 |
| a2 |
∴yMyN=
| a2y02 |
| a2-x02 |
| AN |
| BM |
∴
| AN |
| BM |
（2）-（a2+b2）…（14分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线、合情推理等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识，属于难题．
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