Question

已知动点M（x，y）到定点F₁（-1，0）与到定点F₂（1，0）的距离之比为3．
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程，并指明曲线C的轨迹；
（Ⅱ）设直线l：x=x+b，若曲线C上恰有两个点到直线l的距离为1，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接由动点M（x，y）到定点F₁（-1，0）与到定点F₂（1，0）的距离之比为3列式整理求曲线方程；
（Ⅱ）求出圆心到直线l的距离d，由圆C上恰有两个点到直线l的距离为1得到d的范围，求解不等式组得b得范围．

解答：解：（Ⅰ）由动点M（x，y）到定点F₁（-1，0）与到定点F₂（1，0）的距离之比为3，
得

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=3，
整理得：(x-

5

4

)2+y2=

9

16

，
∴曲线C的轨迹是以(

5

4

，0)为圆心，以

3

4

为半径的圆；
（Ⅱ）设圆心到直线l的距离为d，则当

1

4

＜d＜

7

4

时，圆C上恰有两个点到直线l的距离为1．
由l：y=x+b，即l：x-y+b=0，∴d=

| 5 4 +b|

2

．
由

1

4

＜d＜

7

4

，得

1

4

＜

| 5 4 +b|

2

＜

7

4

．
解

1

4

＜

| 5 4 +b|

2

得，b＜-

5

4

-

2

4

或b＞-

5

4

+

2

4

；
解

| 5 4 +b|

2

＜

7

4

得，-

5

4

-

7 2

4

＜b＜-

5

4

+

7 2

4

∴实数b的取值范围是(-

5

4

-

7 2

4

，-

5

4

-

2

4

)∪(-

5

4

+

2

4

，-

5

4

+

7 2

4

)．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，关键是把曲线C上恰有两个点到直线l的距离为1转化为圆心到直线的距离范围，是中档题．