Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，又PA=PD，E是BC的中点．
（1）求证：AD⊥PE；
（2）在PA上是否存在一点M，使ME∥平面PDC？

Answer 1

【答案】分析：（1）取AD的中点O，连接OP，OE，由PA=PD，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可得OP⊥AD，又由矩形中位线的性质，可得OE⊥AD，进而根据线面垂直的判定定理，可得AD⊥平面OPE，再由线面垂直的性质即可得到AD⊥PE；
（2）PA的中点M，连接ME，MO，根据三角形中线定理，我们可得OM∥PD，又由OE∥DC，结合面面平行的判定定理，可得平面OEM∥平面PDC，进而由面面平行的性质，得到结论．
解答：解：（1）如图，取AD的中点O，连接OP，OE
∵PA=PD，∴OP⊥AD，
又E是BC的中点，∴OE∥AB，∴OE⊥AD，
又OP∩OE=O，∴AD⊥平面OPE，而PE?平面OPE，
∴AD⊥PE．  
（2）存在点M，取PA的中点M，
连接ME，MO，易知：OM∥PD，又由OE∥DC，
知：平面OEM∥平面PDC．
故在PA上是否存在点M（M为PA的中点），使ME∥平面PDC．
点评：本题考查的知识眯是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，熟练掌握空间直线与平面平行、垂直的判定定理，性质定理，定义及相互的转化，是解答此类问题的关键．