Question

（2012•资阳一模）设函数f(x)=

x2-(4a+1)x-8a+4，x＜1 logax，x≥1

．
（1）若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围．
（2）当a=2时，令函数g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1），对任意x∈R，不等式g（x）≥mt+m对任意的t∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二次函数、对数函数的单调性，及函数单调性的定义，可建立不等式组，由此可求实数a的取值范围；
（2）通过研究函数g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1）的最小值，将问题转化为mt+m-3≤0在t∈[-2，2]上恒成立，再构建函数，即可求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）若函数f（x）是（-∞，+∞）上的减函数，则：

4a+1 2 ≥1 0＜a＜1 12-(4a+1)×1-8a+4≥loga1

（5分）
解得

1

4

≤a≤

1

3

，故实数a的取值范围是[

1

4

，

1

3

]．（6分）
（2）g(x)=2f(2x+3)-f(2x+1)=2log2(2x+3)-log2(2x+1)=log2

(2x+3)2

2x+1

（8分）
=log2

(2x+1)2+4(2x+1)+4

2x+1

=log2[(2x+1)+

4

2x+1

+4]，
∵(2x+1)+

4

2x+1

+4≥2

(2x+1)• 4 2x+1

+4=8，当且仅当2x+1=

4

2x+1

，即2^x+1=2，x=0时“=”成立，
∴函数g（x）≥log₂8=3，函数g（x）的最小值为3．（10分）
不等式g（x）≥mt+m对x∈R，t∈[-2，2]恒成立，即mt+m-3≤0在t∈[-2，2]上恒成立，令h（t）=mt+m-3，
∴

h(-2)=-2m+m-3≤0 h(2)=2m+m-3≤0

解得-3≤m≤1，
故实数m的取值范围是[-3，1]．（12分）

点评：本题考查函数单调性的定义，考查利用基本不等式求函数的最值，考查恒成立问题，正确理解单调性的定义，合理转化是解题的关键．