Question

命题p：已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F₂作∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F₁，F₂是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F₂作∠F₁PF₂的

内角平分线

的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．

Answer 1

分析：根据椭圆中的结论，利用角平分线的性质与椭圆的定义，可类比双曲线中的相应结论．

解答：解：点F₂关于∠F₁PF₂的外角平分线PM的对称点Q在F₁P的延长线上
∵F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F₂作∠F₁PF₂的外角平分线的垂线，垂足为M
∴|F₁Q|=|PF₁|+|PF₂|=2a（椭圆长轴长），又OM是△F₂F₁Q的中位线，故|OM|=a；
不妨设点P在双曲线右支上，点F₁关于∠F₁PF₂的内角平分线PM的对称点Q在PF₂的延长线上
当过F₂作∠F₁PF₂的内角平分线的垂线，垂足为M时，|F₂Q|=|PF₁|-|PF₂|=2a，又OM是△F₂F₁Q的中位线，故|OM|=a；
故答案为：内角平分线

点评：本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．